Bất đẳng thức trong tam giác(tt).

Question

Chứng minh rằng:

$\Delta ABC$ nhọn khi và chỉ khi:

$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C>2$

score 5 · Answer 1

Cách khác
Chú ý rằng ta có

$\sin C = \sin (A+B)=\sin A \cos B + \sin B \cos A$ .
Ta có

$\sin^2 A + \sin^2 B +\sin^2 C > 2$

$\Leftrightarrow \sin^2 C>(1-\sin^2 A)+(1-\sin^2 B)$

$\Leftrightarrow \sin^2 (A+B)>\cos^2 A+\cos^2 B$

$\Leftrightarrow \left ( \sin A \cos B + \sin B \cos A \right )^2>\cos^2 A+\cos^2 B$

$\Leftrightarrow \sin^2 A \cos^2 B + \sin^2 B \cos^2 A+ 2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A+\cos^2 B$

$\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A(1-\sin^2 B)+\cos^2 B(1-\sin^2 A)$

$\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>\cos^2 A\cos^2 B+\cos^2 B\cos^2 A$

$\Leftrightarrow2\sin A \cos B \sin B \cos A>2\cos^2 A\cos^2 B$

$\Leftrightarrow \cos B\cos A (\cos B\cos A-\sin B \sin A)<0$

$\Leftrightarrow \cos B\cos A \cos (A+B)<0$

$\Leftrightarrow \cos B\cos A \cos C>0$

$\Leftrightarrow \triangle ABC$ nhọn.

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!

score 5 · Answer 2

Ta có:

$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C$

$=\dfrac{1-\cos2A}{2}+\dfrac{1-\cos2B}{2}+1-\cos^2C$

$=2-\dfrac{1}{2}(\cos2A+\cos2B)-\cos^2C$

$=2-\cos(A+B)\cos(A-B)-\cos^2C$

$=2+\cos C[\cos(A-B)-\cos C]$

$=2+\cos C[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$

$=2+\cos A\cos B\cos C$
Khi đó:

$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C>2$

$\Leftrightarrow \cos A\cos B\cos C>0$

$\Leftrightarrow \cos A;\cos B;\cos C>0$

$\Leftrightarrow \Delta ABC$ nhọn.

2 Đáp án