Bất đẳng thức trong tam giác.

Question

Cho

$\Delta ABC.$ Chứng minh rằng:

$a)\,\,\left(1-\cos A\right)\left(1-\cos B\right)\left(1-\cos C\right)\leq \dfrac{1}{8}\\b)\,\,\left(1-\sin A\right)\left(1-\sin B\right)\left(1-\sin C\right)\leq \left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}\\c)\,\,\dfrac{\cos\dfrac{A}{2}}{1+\cos A}+\dfrac{\cos\dfrac{B}{2}}{1+\cos B}+\dfrac{\cos\dfrac{C}{2}}{1+\cos C}\geq \sqrt{3}\\d)\,\,\dfrac{\cos\dfrac{B-C}{2}}{\sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{\cos\dfrac{C-A}{2}}{\sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{\cos\dfrac{A-B}{2}}{\sin\dfrac{C}{2}}\geq 6\\e)\,\,\left(1+\dfrac{1}{\sin\dfrac{A}{2}}\right)\left(1+\dfrac{1}{\sin\dfrac{B}{2}}\right)\left(1+\dfrac{1}{\sin\dfrac{C}{2}}\right)\geq 27$

score 6 · Answer 1

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

a.
Kí hiệu

$\sum$ và

$\prod$ thay cho tổng và tích của các biểu thức đầy đủ và đối xứng.
BĐT cần chứng minh

$\Leftrightarrow \prod (1-\cos A) \le \dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \prod 2\sin^2\dfrac{A}{2} \le \dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \prod \sin^2\dfrac{A}{2} \le \dfrac{1}{64}\Leftrightarrow \prod \sin\dfrac{A}{2} \le \dfrac{1}{8}$
Mặt khác xem chứng minh câu e thì ta có điều này như vậy suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 24-01-13 09:57 PM

score 6 · Answer 2

e.
Ta có:

$\sin\dfrac{A}{2}+\sin\dfrac{B}{2}=2\sin(\dfrac{A}{4}+\dfrac{B}{4})\cos(\dfrac{A}{4}-\dfrac{B}{4})\le2\sin(\dfrac{A}{4}+\dfrac{B}{4})$

$\sin\dfrac{C}{2}+\sin\dfrac{\pi}{6}=2\sin(\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi}{12})\cos(\dfrac{C}{4}-\dfrac{\pi}{12})\le2\sin(\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi}{12})$

$\sin(\dfrac{A}{4}+\dfrac{B}{4})+\sin(\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi}{12})=2\sin\dfrac{\pi}{6}\cos(\dfrac{A}{8}+\dfrac{B}{8}-\dfrac{C}{8}-\dfrac{\pi}{24})\le2\sin\dfrac{\pi}{6}$
Suy ra:

$\sin\dfrac{A}{2}+\sin\dfrac{B}{2}+\sin\dfrac{C}{2}\le3\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3}{2}$
Suy ra:

$\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\le\left(\dfrac{\sin\dfrac{A}{2}+\sin\dfrac{B}{2}+\sin\dfrac{C}{2}}{3}\right)^3\le\dfrac{1}{8}$
Ta có:

$\left(1+\dfrac{1}{\sin\dfrac{A}{2}}\right)\left(1+\dfrac{1}{\sin\dfrac{B}{2}}\right)\left(1+\dfrac{1}{\sin\dfrac{C}{2}}\right)$

$=1+\left(\dfrac{1}{\sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{1}{\sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{\sin\dfrac{C}{2}}\right)+\left(\dfrac{1}{\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}}+\dfrac{1}{\sin\dfrac{C}{2}\sin\dfrac{A}{2}}\right)+\dfrac{1}{\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}}$

$\ge1+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}}}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\sin^2\dfrac{A}{2}\sin^2\dfrac{B}{2}\sin^2\dfrac{C}{2}}}+8\ge27$
Dấu bằng xảy ra khi:

$\Delta ABC$ đều.

score 5 · Answer 3

d.
Ta có:

$\dfrac{\cos\dfrac{B-C}{2}}{\sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{\cos\dfrac{C-A}{2}}{\sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{\cos\dfrac{A-B}{2}}{\sin\dfrac{C}{2}}$

$=\dfrac{2\sin\dfrac{B+C}{2}\cos\dfrac{B-C}{2}}{2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}}+\dfrac{2\sin\dfrac{C+A}{2}\cos\dfrac{C-A}{2}}{2\sin\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{B}{2}}+\dfrac{2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}}{2\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2}}$

$=\dfrac{\sin B+\sin C}{\sin A}+\dfrac{\sin C+\sin A}{\sin B}+\dfrac{\sin A+\sin B}{\sin C}$

$=\dfrac{\sin B}{\sin A}+\dfrac{\sin A}{\sin B}+\dfrac{\sin C}{\sin B}+\dfrac{\sin B}{\sin C}+\dfrac{\sin C}{\sin A}+\dfrac{\sin A}{\sin C}$

$\ge2\sqrt{\dfrac{\sin B}{\sin A}.\dfrac{\sin A}{\sin B}}+2\sqrt{\dfrac{\sin C}{\sin B}.\dfrac{\sin B}{\sin C}}+2\sqrt{\dfrac{\sin C}{\sin A}.\dfrac{\sin A}{\sin C}}=6$
Dấu bằng xảy ra khi:

$\Delta ABC$ đều.

score 5 · Answer 4

c.
Ta có:

$\cos\dfrac{A}{2}+\cos\dfrac{B}{2}=2\cos(\dfrac{A}{4}+\dfrac{B}{4})\cos(\dfrac{A}{4}-\dfrac{B}{4})\le2\cos(\dfrac{A}{4}+\dfrac{B}{4})$

$\cos\dfrac{C}{2}+\cos\dfrac{\pi}{6}=2\cos(\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi}{12})\cos(\dfrac{C}{4}-\dfrac{\pi}{12})\le2\cos(\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi}{12})$

$\cos(\dfrac{A}{4}+\dfrac{B}{4})+\cos(\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi}{12})=2\cos\dfrac{\pi}{6}\cos(\dfrac{A}{8}+\dfrac{B}{8}-\dfrac{C}{8}-\dfrac{\pi}{24})\le2\cos\dfrac{\pi}{6}$
Suy ra:

$\cos\dfrac{A}{2}+\cos\dfrac{B}{2}+\cos\dfrac{C}{2}\le3\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\sqrt3}{2}$
Ta có:

$\dfrac{\cos\dfrac{A}{2}}{1+\cos A}+\dfrac{\cos\dfrac{B}{2}}{1+\cos B}+\dfrac{\cos\dfrac{C}{2}}{1+\cos C}$

$=\dfrac{1}{2\cos\dfrac{A}{2}}+\dfrac{1}{2\cos\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{2\cos\dfrac{C}{2}}$

$\ge\dfrac{9}{2\cos\dfrac{A}{2}+2\cos\dfrac{B}{2}+2\cos\dfrac{C}{2}}\ge\sqrt3$
Dấu bằng xảy ra khi:

$\Delta ABC$ đều.

Hỏi	24-01-13 04:52 PM
Lượt xem	3346
Hoạt động	24-01-13 09:32 PM

Bất đẳng thức trong tam giác.

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất đẳng thức trong tam giác.

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan