|
|
Điều kiện $x \ge 0.$ BPT
$\Leftrightarrow 8x^{3} +76x\sqrt{x} +1-58x^{2}-29x \ge 0$
BPT trên sẽ tương đươn với BPT sau đây, bạn tự nhân ra và kiểm tra nhé
$\Leftrightarrow (2x-4\sqrt x+1)(8\sqrt[]{x^3}+4x^2-15x+4\sqrt{x}+1) \ge 0$
Mặt khác áp dụng BĐT Cô-si ta có
$8\sqrt[]{x^3}+4\sqrt{x} \ge 2\sqrt[]{8\sqrt[]{x^3}.4\sqrt{x}}=2\sqrt[]{32x^2} =8\sqrt 2 x \ge 11x$
$4x^2+1 \ge 2\sqrt[]{4x^2.1}=4x$
Suy ra
$8\sqrt[]{x^3}+4x^2+4\sqrt{x}+1 \ge 15x$
và dễ kiểm tra dấu bằng không xảy ra vì hpt $ \begin{cases}8\sqrt[]{x^3}=4\sqrt{x} \\ 4x^2=1\\8\sqrt 2 x = 11x \end{cases}$ vô nghiệm.
Do vậy phải có $2x-4\sqrt x+1 \ge 0 $.
Vế trái là PT bậc hai theo $\sqrt x$ nên dễ có $\left[ {\begin{matrix} x \ge \dfrac{1}{2}(3+2\sqrt2)\\ 0 \le x \le \dfrac{1}{2}(3-2\sqrt2) \end{matrix}} \right.$
|