Giúp mình làm tiếp câu tích phân này với.

$I=\int\limits_{1}^{e}\frac{log^{3}_{2}x}{x\sqrt{1+3ln^{2}x}}dx$
Đặt:
$u=log^{3}_{2}x\Rightarrow u'=3log^{2}_{2}x.\frac{1}{xln2}$ 
$v'=\frac{1}{x\sqrt{1+3ln^{2}x}}\Rightarrow v=\int\limits_{}^{}\frac{1}{x\sqrt{1+3ln^{2}x}}dx=\int\limits_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+3ln^{2}x}}d(lnx)$ .
Đặt: $lnx=t\Rightarrow \int\limits_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1+3t^{2}}}dt$. Đặt: $t=\frac{1}{\sqrt{3}}tanu\Rightarrow dt=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{cos^{2}u}du$. Ta được:
$\int\limits_{}^{}\frac{1}{cosu}du=\int\limits_{}^{}\frac{1}{1-sin^{2}u}d(sinu)=\frac{1}{2}ln\left| {\frac{1+sinu}{1-sinu}} \right|+c$ 

Làm đến đây thì mình chẳng biết biến đổi kiểu gì để thay $lnx$ vào với mục đích là tìm ra v. Mọi người giúp mình với.