|
|
Ta có
$n(n+2)(n+4)(n+6)=(n^2+6n)(n^2+6n+8)=(n^2+6n+4)^2-16$
Trước hết ta cần $\sqrt{n(n+2)(n+4)(n+6)} \in \mathbb Z\Rightarrow (n^2+6n+4)^2-16$ phải là số chính phương.
Đặt $(n^2+6n+4)^2-16=m^2, \quad m \in \mathbb Z^+.$
Suy ra $(n^2+6n+4)^2-m^2=16\Rightarrow (n^2+6n+4-m)(n^2+6n+4+m)=16$
Ta thấy rằng $(n^2+6n+4+m)-(n^2+6n+4-m)=2m> 0$ là một số chẵn nên $(n^2+6n+4+m),(n^2+6n+4-m)$ phải cùng tính chẵn lẻ và là ước của $16$. Vì vậy phải có
$\begin{cases}n^2+6n+4+m=8 \\ n^2+6n+4-m=2 \end{cases}\Rightarrow 2(n^2+6n+4)=10\Rightarrow n^2+6n=1,$ vô nghiệm.
Vậy không tồn tại giá trị nào của $n$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
|