tích phân

Question

$\int\limits_{1}^{5}\frac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}dx$

score 4 · Answer 1

Nhắc lại không chứng minh kết quả sau

$\int\limits\dfrac{1}{1-z^2}dz=\dfrac{1}{2}\ln\left| {\dfrac{1+z}{1-z}} \right|+C$
Ta có

$\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}=\dfrac{x^{2}}{x\sqrt{3x+1}}+\dfrac{1}{x\sqrt{3x+1}}$

$\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{3x+1}}+\dfrac{1}{x\sqrt{3x+1}}$

$\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}=\dfrac{(3x-2)+2(3x+1)}{9\sqrt{3x+1}}-\dfrac{3}{1-(3x+1)}.\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}$

$\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}=\dfrac{(3x-2)}{9\sqrt{3x+1}}+\dfrac{2(3x+1)}{9\sqrt{3x+1}}-\dfrac{1}{1-(3x+1)}.\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}}$

$\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}=\dfrac{2}{27}(3x-2)\left ( \sqrt{3x+1} \right )'+\dfrac{2}{27}(3x-2)'\left ( \sqrt{3x+1} \right )-2.\dfrac{1}{1-(3x+1)}\left ( \sqrt{3x+1} \right )'$

$\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}=\left[ {\dfrac{2}{27}(3x-2)\left ( \sqrt{3x+1} \right )} \right]'-2.\dfrac{1}{1-(3x+1)}\left ( \sqrt{3x+1} \right )'$
Suy ra

$\int\limits_{1}^{5}\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}dx=\left[ {\dfrac{2}{27}(3x-2)\left ( \sqrt{3x+1} \right )} \right]_{1}^{5}-2\int\limits_{1}^{5}\dfrac{1}{1-(3x+1)}d\left ( \sqrt{3x+1} \right )$

$\int\limits_{1}^{5}\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}dx=\left[ {\dfrac{2}{27}(3x-2)\left ( \sqrt{3x+1} \right )} \right]_{1}^{5}-2\left[ {\dfrac{1}{2}\ln\left| {\dfrac{1+\sqrt{3x+1} }{1-\sqrt{3x+1} }} \right|} \right]_{1}^{5}$

$\boxed{\int\limits_{1}^{5}\dfrac{x^{2}+1}{x\sqrt{3x+1}}dx=\dfrac{100}{27}+\ln\dfrac{9 }{5}}$

có cách nào ngắn hơn không bạn? Mình nhìn thấy rối quá.
Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!

Hỏi	19-01-13 10:16 PM
Lượt xem	1549
Hoạt động	19-01-13 10:48 PM

tích phân

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

tích phân

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan