|
|
Áp dụng BĐT
$\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+\dfrac{a_3^2}{b_3} \ge \dfrac{(a_1+a_2+a_3)^2}{b_1+b_2+b_3} \quad \forall a_i,b_i >0, i=1,2,3.$
hay viết lại dưới dạng
$\sum\dfrac{a_1^2}{b_1} \ge \dfrac{(\sum a_1)^2}{\sum b_1}$
Ta có
$A=\sum\dfrac{a^2}{a^2+(b+c)^2} \ge \sum\dfrac{a^2}{a^2+2b^2+2c^2}=\sum\dfrac{a^4}{a^4+2a^2b^2+2a^2c^2} \ge \dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum a^4+4\sum a^2b^2}$
Ta sẽ chứng minh
$ \dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum a^4+4\sum a^2b^2} \ge \dfrac{3}{5}\qquad (*)$
Thật vậy,
$(*) \Leftrightarrow 5(\sum a^2)^2 \ge3\left ( \sum a^4+4\sum a^2b^2 \right )\Leftrightarrow \sum a^4\ge\sum a^2b^2$, hiển nhiên đúng.
Vậy $\min A= \dfrac{3}{5}\Leftrightarrow a=b=c.$
|