Giá trị nhỏ nhất.

Question

Với

$a,\,b,\,c$ là các số thực khác

$0$ . Tìm GTNN của

$A=\dfrac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}+\dfrac{b^{2}}{b^{2}+(a+c)^{2}}+\dfrac{c^{2}}{c^{2}+(b+a)^{2}}$

score 3 · Answer 1

Áp dụng BĐT

$\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+\dfrac{a_3^2}{b_3} \ge \dfrac{(a_1+a_2+a_3)^2}{b_1+b_2+b_3} \quad \forall a_i,b_i >0, i=1,2,3.$
hay viết lại dưới dạng

$\sum\dfrac{a_1^2}{b_1} \ge \dfrac{(\sum a_1)^2}{\sum b_1}$
Ta có

$A=\sum\dfrac{a^2}{a^2+(b+c)^2} \ge \sum\dfrac{a^2}{a^2+2b^2+2c^2}=\sum\dfrac{a^4}{a^4+2a^2b^2+2a^2c^2} \ge \dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum a^4+4\sum a^2b^2}$
Ta sẽ chứng minh

$\dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum a^4+4\sum a^2b^2} \ge \dfrac{3}{5}\qquad (*)$
Thật vậy,

$(*) \Leftrightarrow 5(\sum a^2)^2 \ge3\left ( \sum a^4+4\sum a^2b^2 \right )\Leftrightarrow \sum a^4\ge\sum a^2b^2$ , hiển nhiên đúng.
Vậy

$\min A= \dfrac{3}{5}\Leftrightarrow a=b=c.$

uầy, khó thật! – babylionneu 06-01-13 09:45 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 06-01-13 09:11 AM

Hỏi	06-01-13 07:32 AM
Lượt xem	1513
Hoạt động	06-01-13 08:56 AM

Giá trị nhỏ nhất.

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Giá trị nhỏ nhất.

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan