|
Ta có \frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}\geq \frac{1}{x+y} (Điều này tương tương với (x-y)^2\geq0) (*) a/ Áp dụng (*) với x=a^2+b^2,y=2ab ta có: \frac{1}{4a^{2} + 4b^{2}} + \frac{1}{8ab}\geq \frac{1}{a^2 + b^{2}+2ab} = \frac{1}{(a + b)^{2}} \forall a, b > 0 b/
Theo (*) thì \frac{1}{4b}+\frac{1}{4b}\geq \frac{1}{a+b} \frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}\geq \frac{1}{b+c} \frac{1}{4c}+\frac{1}{4a}\geq \frac{1}{c+a} cộng theo vế ta được \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a} (1) Ta lại áp dụng (*) \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{4}{2a + b + c} \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{2b + a + c} \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{4}{2c + b + a} cộng theo vế suy ra \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\geqslant \frac{4}{2a + b + c}
+ \frac{4}{2b + c + a} + \frac{4}{2c + a +b} (2) Từ (1) và (2) suy ra: \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant \frac{4}{2a + b + c}
+ \frac{4}{2b + c + a} + \frac{4}{2c + a +b} \forall a, b, c > 0
|