|
|
Ta có
$f(1)=f(1.1)=f(1).f(1)$
Vì $f(1)\in N^*$ nên $f(1)=1$
$f(4)=f(2.2)=f(2).f(2)=4$
$2=f(2)<f(3)<f(4)=4$ nên $f(3)=3$
ta chứng minh $f(n)=n, \forall n\in N^*$
$n=1$ thì kết quả này đúng
Xét $n>4$
Giả sử ĐCCM đúng với mọi số nhỏ hơn n
+)Nếu $n$ là hợp số,,
đặt $n=h.k$ với $h,k<n$
Theo giả thuyết quy nạp thì $f(h)=h,f(k)=k$
Ta có $f(n)=f(h.k)=f(h).f(k)=h.k=n$ (1)
+) Nếu n là số nguyên tố, do $n>4$ nên $n+1$ là số chẵn ,
Đặt $n+1=2m$, do $n>4$ nên $m<n$
Theo gt quy nạp thì
$f(m)=m$
Ta suy ra $f(n+1)=f(2.m)=f(2).f(m)=2.m=n+1$
Ta suy ra $n-1=f(n-1)<f(n)<f(n+1)=n+1$
Vì vậy $f(n)=n$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra ĐCCM
|