|
|
Giải
Ta có: \(\begin{cases}(x+y)(1+\frac{1}{xy})=5 \\ (x^2+y^2)(1+\frac{1}{x^2y^2})=49 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y})=5 \\ (x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2=53 \end{cases}\) (*)
Đặt \(u=x+\frac{1}{x}, v=y+\frac{1}{y}\). Khi đó hệ (*) tương đương:
\(\Leftrightarrow \begin{cases}u+v=5 \\ u^2+v^2=53 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 7,v=-2\\u = -2,v=7\end{array} \right.\)
+ Với \(\begin{cases}u=7 \\ v=-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x+\frac{1}{x}=7 \\ y+\frac{1}{y}=-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^2-7x+1=0 \\ y^2+2y+1=0 \end{cases}\)
\(\begin{cases}x=\frac{7\pm \sqrt{45}}{2} \\ y=-1 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=\frac{7+ \sqrt{45}}{2} \\ y=-1 \end{cases}\\\begin{cases}x= \frac{7- \sqrt{45}}{2}\\ y=-1 \end{cases}\end{array} \right.\)
+ Với \(\begin{cases}u=-2 \\ v=7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x+\frac{1}{x}=-2 \\ y+\frac{1}{y}=7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^2+2x+1=0 \\ y^2-7y+1=0 \end{cases}\)
\(\begin{cases}x=-1 \\ y=\frac{7\pm \sqrt{45}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=-1 \\ y=\frac{7+ \sqrt{45}}{2} \end{cases}\\\begin{cases}x= -1\\ y=\frac{7- \sqrt{45}}{2} \end{cases}\end{array} \right.\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm $(x;y)=(\frac{7\pm \sqrt{45}}{2};-1),(-1; \frac{7\pm \sqrt{45}}{2})$
|