|
|
Ta thấy điều sau
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}(u_{n}+1)-u_n$
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}(1-u_{n})$
Như
vậy ta thấy rằng $u_{n+1}-u_n$ và $1-u_n$ là hai số cùng dấu với nhau.
Ta sẽ chứng minh $u_n >1 \quad \forall n$ .
Thật vậy, ta chứng minh điều này bằng quy nạp.
Hiển nhiên $u_1 >1.$
Giả sử rằng $u_k >1\quad \forall k \ge 2.$
Lúc này
$u_{k+1}=\dfrac{1}{2}(u_{k}+1)>\dfrac{1}{2}(1+1)=1$
Như vậy theo nguyên lý quy nạp ta có $u_n >1 \quad \forall n$ .
Và từ $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}(1-u_{n})\Rightarrow u_{n+1}<u_n \quad \forall n$.
Vậy ta có đpcm.
|