|
|
Ta thấy điều sau
$u_{n+1}-u_n=\frac{n}{2(n+1)}u_{n}+\frac{3(n+2)}{2(n+1)}-u_n$
$u_{n+1}-u_n=u_{n}\left ( \frac{n}{2(n+1)}-1\right )+\frac{3(n+2)}{2(n+1)}$
$u_{n+1}-u_n=u_{n}\frac{-n-2}{2(n+1)}+\frac{3(n+2)}{2(n+1)}$
$u_{n+1}-u_n=\frac{(n+2)}{2(n+1)}(3-u_n)$
Như vậy ta thấy rằng $u_{n+1}-u_n$ và $3-u_n$ là hai số cùng dấu với nhau. Như vậy để dãy số đã cho là dãy số tăng và bị chặn bởi $3$ là hai điều tương đương nhau.
Nó có nghĩa là nếu ta chứng minh được $u_n <3 \quad \forall n$ thì suy ra đpcm.
Thật vậy, ta chứng minh điều này bằng quy nạp.
Hiển nhiên $u_1 < 3.$
Giả sử rằng $u_k <3\quad \forall k \ge 2.$
Lúc này
$u_{k+1}=\frac{k}{2(k+1)}u_{k}+\frac{3(k+2)}{2(k+1)}<\frac{k}{2(k+1)}3+\frac{3(k+2)}{2(k+1)}=\frac{3(2k+2)}{2(k+1)}=3$
Vậy ta có đpcm.
|