|
|
Ta thấy điều sau
un+1−un=n2(n+1)un+3(n+2)2(n+1)−un
un+1−un=un(n2(n+1)−1)+3(n+2)2(n+1)
un+1−un=un−n−22(n+1)+3(n+2)2(n+1)
un+1−un=(n+2)2(n+1)(3−un)
Như vậy ta thấy rằng un+1−un và 3−un là hai số cùng dấu với nhau. Như vậy để dãy số đã cho là dãy số tăng và bị chặn bởi 3 là hai điều tương đương nhau.
Nó có nghĩa là nếu ta chứng minh được un<3∀n thì suy ra đpcm.
Thật vậy, ta chứng minh điều này bằng quy nạp.
Hiển nhiên u1<3.
Giả sử rằng uk<3∀k≥2.
Lúc này
uk+1=k2(k+1)uk+3(k+2)2(k+1)<k2(k+1)3+3(k+2)2(k+1)=3(2k+2)2(k+1)=3
Vậy ta có đpcm.
|