|
|
Đặt $x =\dfrac{1}{1+a},y =\dfrac{1}{1+b},z =\dfrac{1}{1+c}$. Ta có
$x =\dfrac{1}{1+a}\Rightarrow 1+a =\dfrac{1}{x}\Rightarrow a =\dfrac{1-x}{x}$
Làm tương tự như vậy với $y,z$.
Từ $abc=1\Rightarrow xyz=(1-x)(1-y)(1-z)=1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz$
Suy ra $2xyz=1-(x+y+z)+(xy+yz+zx).$
Như vậy BDDT cần chứng minh
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz \ge 1$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+1-(x+y+z)+(xy+yz+zx) \ge 1$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-(x+y+z)+(xy+yz+zx) \ge 0$
Từ BDDT quen thuộc, $x^2+y^2+z^2\ge (xy+yz+zx) $ ta dễ dàng chứng minh được
$x^2+y^2+z^2+ (xy+yz+zx) \ge \dfrac{2}{3}(x+y+z)^2$
Tóm lại bài toán quy về chứng minh
$\dfrac{2}{3}(x+y+z)^2-(x+y+z) \ge 0\Leftrightarrow x+y+z \ge \dfrac{3}{2}$
Để chứng minh BĐT này thì ta chú ý $abc=1$ nên tồn tại các số $m,n,p $ sao cho $a=\dfrac{m}{n}, b=\dfrac{n}{p}, c=\dfrac{p}{m}, $ Khi đó
$x+y+z = \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}= \dfrac{n}{n+m}+\dfrac{p}{n+p}+\dfrac{m}{m+p} \ge \dfrac{3}{2}$, đpcm.
|