|
|
Từ điều kiện của hàm mũ, và dễ thấy nếu $a=1 \Rightarrow b=1$ và ngược lại nên ta có thể giả sử $a,b \in \mathbb N, a,b \ge 2.$
+ Xét $a=2$. Ta có $2^b=b^2$.
Thấy rằng $b=2$ là nghiệm,$b=1,3$ không là nghiệm nên ta tiếp tục xét $b \ge 3.$
Xét hàm số $f(b) =2^b-b^2 \quad \forall b \ge 3.$
Có $f'(b)=2^b\ln b-2b$,
$ f''(b)=2^b\ln^2 b-2>0 \quad \forall b \ge 3.$
Suy ra $f(b)=0$ không có quá một nghiệm. Mặt khác $f(4)=0$ nên $b=4$ là nghiệm duy nhất.
Vậy trong trường hợp $a=2$ thì $b=2$ hoặc $b=4.$
+ Xét $a \ge 3.$ Đổi vai trò của $a$ và $b$, làm tương tự như phần trên thì thu được nghiệm $b=2,a=4$ và tiếp tục xét $b \ge 3$
PT đã cho $\Leftrightarrow \ln (a^b)=\ln (b^a)\Leftrightarrow b\ln a=a\ln b\Leftrightarrow \dfrac{\ln a}{a}=\dfrac{\ln b}{b}\Leftrightarrow f(a)=f(b)$
Với hàm $f(t)=\dfrac{\ln t}{t}\quad \forall t \ge 3.$
Có $f'(t) = \dfrac{1-\ln t}{t^2}<0\quad \forall t \ge3$ nên $f$ nghịch biến kéo theo $a=b.$
Vậy nghiệm của PT là
$(a,b) \in \left\{ {(k,k),(2,4),(4,2)} \right\}, \quad k \in \mathbb N, k \ge 1.$
|