|
|
Từ điều kiện của hàm mũ, và dễ thấy nếu a=1⇒b=1 và ngược lại nên ta có thể giả sử a,b∈N,a,b≥2.
+ Xét a=2. Ta có 2b=b2.
Thấy rằng b=2 là nghiệm,b=1,3 không là nghiệm nên ta tiếp tục xét b≥3.
Xét hàm số f(b)=2b−b2∀b≥3.
Có f′(b)=2blnb−2b,
f″
Suy ra f(b)=0 không có quá một nghiệm. Mặt khác f(4)=0 nên b=4 là nghiệm duy nhất.
Vậy trong trường hợp a=2 thì b=2 hoặc b=4.
+ Xét a \ge 3. Đổi vai trò của a và b, làm tương tự như phần trên thì thu được nghiệm b=2,a=4 và tiếp tục xét b \ge 3
PT đã cho \Leftrightarrow \ln (a^b)=\ln (b^a)\Leftrightarrow b\ln a=a\ln b\Leftrightarrow \dfrac{\ln a}{a}=\dfrac{\ln b}{b}\Leftrightarrow f(a)=f(b)
Với hàm f(t)=\dfrac{\ln t}{t}\quad \forall t \ge 3.
Có f'(t) = \dfrac{1-\ln t}{t^2}<0\quad \forall t \ge3 nên f nghịch biến kéo theo a=b.
Vậy nghiệm của PT là
(a,b) \in \left\{ {(k,k),(2,4),(4,2)} \right\}, \quad k \in \mathbb N, k \ge 1.
|