|
|
Ta biết rằng tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên cũng bằng bình phương tỉ số chu vi.
Đặt BC=a,AC=b,AB=c,. Gọi AMN là tam giác nhận được từ tiếp tuyến song song với BC.
Gọi nửa chu vi của △ABC,△AMN lần lượt là p,p1. Gọi H,K là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tâm I xuống AB,AC.
Ta dễ có điều sau
2AH=2AK=AH+AK=b+c−a⇒2p1=AD+AE+DE=AH+AK=b+c−a
Như vậy
S1S=(p1p)2=(b+c−aa+b+c)2
Tương tự như vậy và ta có
S1+S2+S3S=(b+c−a)2+(a−b+c)2+(a+b−c)2(a+b+c)2
Nhắc lại không cm BĐT quen thuộc x2+y2+x2≥13(x+y+z)2x,y,z.
Do đó
(b+c−a)2+(a−b+c)2+(a+b−c)2≥13(a+b+c)2
Vậy
minS1+S2+S3S=13⇔a=b=c⇔△ABC đều.
|