giải giúp bt

Question

chứng minh rằng phương trình

$x^{5}-x^{2}-2x-1 =0$ có đúng một nghiệm

score 4 · Answer 1

Đặt

$f(x) = x^5 - x^2 - 2x - 1$
có

$f'(x) = 5x^4 - 2x - 2$
Xét pt

$f(x) = 0$ . Ta có:

$x^5 = (x + 1)^2 (*)$
Nhận thấy

$x = -1$ không phải là nghiệm của pt

$(*)$
Với

$x \ne -1$ ta có

$x^5 > 0 \Rightarrow x > 0\Leftrightarrow (x + 1)^2 > 1\Leftrightarrow x^5 > 1\Rightarrow x > 1$

$\Rightarrow f'(x) = 5x^4 - 2x - 2 > 0$

$\Rightarrow f(x)$ là hàm đồng biến với

$x > 1$

$\Rightarrow$ Pt

$f(x) = 0$ có nhiều nhất

$1$ nghiệm

$(1)$
Mặt khác có:

$f(1) = -1; f(2) = 23\Rightarrow f(1) . f(2) < 0$
Mà

$f$ liên tục

$\Rightarrow \exists x_\in (1;2)$ sao cho

$f(x_1) = 0$

$\Rightarrow$ Pt

$f(x) = 0$ có ít nhất

$1$ nghiệm là

$x_1 (2)$
Từ

$(1)$ và

$(2)\Rightarrow$ Pt

$f(x) = 0$ có đúng

$1$ nghiệm.

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!

1 Đáp án