|
|
Đặt $f(x) = x^5 - x^2 - 2x - 1$
có $
f'(x) = 5x^4 - 2x - 2$
Xét pt $ f(x) = 0$. Ta có: $x^5 = (x + 1)^2 (*)$
Nhận thấy $x = -1$ không phải là nghiệm của pt $(*)$
Với $x \ne -1$ ta có
$x^5 > 0 \Rightarrow x > 0\Leftrightarrow (x + 1)^2 > 1\Leftrightarrow x^5 > 1\Rightarrow x > 1 $
$\Rightarrow f'(x) = 5x^4 - 2x - 2 > 0$
$\Rightarrow f(x) $ là hàm đồng biến với $x > 1$
$\Rightarrow $ Pt $f(x) = 0$ có nhiều nhất $1$ nghiệm $(1)$
Mặt khác có: $f(1) = -1; f(2) = 23\Rightarrow f(1) . f(2) < 0$
Mà $f$ liên tục $\Rightarrow \exists x_\in (1;2)$ sao cho $f(x_1) = 0$
$\Rightarrow$ Pt $f(x) = 0$ có ít nhất $1$ nghiệm là $x_1 (2)$
Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow $ Pt $f(x) = 0$ có đúng $1$ nghiệm.
|