GTLN, GTNN

Question

Với mỗi số nguyên

$n$ thỏa

$n\geq2$ cố định xét các tập số thực

$n$ đôi một khác nhau.

$X=\left\{ {x_1,x_2,x_3,...,x_n} \right\}$ . Kí hiệu

$C(X)$ là số giá trị khác nhau của tổng

$x_i+x_j,(1\leq i \leq j \leq n).$ Tìm GTLN và GTNN của

$C(X)$

score 4 · Answer 1

*) Tìm Max:
Ta có:

$Y=\{2x_i;x_i\in X\}\cup\{x_i+x_j;x_i;x_j\in X,i\ne j\}$
Dễ thấy:

$C(X)=|Y|\le n+C_n^2=\frac{n(n+1)}{2}$
Ta chứng minh tồn tại tập

$X$ sao cho

$C(X)=\frac{n(n+1)}{2}$
Thật vậy, chọn

$X=\{x_i;x_i=n(i^2-1)+i,\forall i=\overline{1,n}\}$ .
Giả sử tồn tại

$1\le i,j,k,l\le n$ sao cho:

$x_i+x_j=x_k+x_l$

$\Leftrightarrow n(i^2+j^2-2)+i+j=n(k^2+l^2-2)+k+l$
Không mất tính tổng quát giả sử:

$i+j\ge k+l\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} i+j=k+l+n\\ i+j=k+l \end{array} \right.$
Nếu

$i+j=k+l+n\Rightarrow i^2+j^2=k^2+l^2-1$
Mà ta có:

$2(i^2+j^2)\ge(i+j)^2\Rightarrow 2(k^2+l^2-1)\ge(k+l+n)^2$

$\Rightarrow (k-l)^2-2\ge n^2+2n(k+l)$ , vô lý
Nếu

$i+j=k+l\Rightarrow i^2+j^2=k^2+l^2\Rightarrow ij=kl\Rightarrow \{i;j\}=\{k;l\}$ , vô lý
Suy ra:

$x_i+x_j\ne x_k+x_l,\forall 1\le i,j,k,l\le n$ .
Vậy Max

$C(X)=\frac{n(n+1)}{2}$

score 4 · Answer 2

*) Tìm Min:
Đặt

$Y=\{x_i+x_j;x_i,x_j\in X\}$
Suy ra:

$C(X)=|Y|$ .
Không mất tính tổng quát giả sử:

$x_1<x_2<\ldots<x_n$ .
Ta có:

$x_1+x_1<x_1+x_2<x_1+x_3<\ldots<x_1+x_n<x_2+x_n<x_3+x_n<\ldots<x_n+x_n$
Mà

$x_1+x_j\in Y, x_i+x_n\in Y$
Suy ra:

$C(X)=|Y|\ge 2n-1$
Ta chứng minh tồn tại tập

$X$ sao cho

$C(X)=2n-1$
Thật vậy, chọn

$X=\{1;2;3;\ldots;n\}$ thỏa mãn.
Vậy Min

$C(X)=2n-1$

2 Đáp án