|
|
Một cách tự nhiên dễ thấy $M= (x-2y+1)^{2}+(2x+my+5)^{2} \ge 0 \quad \forall x,y.$
Ta có thể kết luận GTNN của $M=0?$
Điều nảy chỉ xảy ra nếu
$\begin{cases}x-2y+1=0 \\ 2x+my+5=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= -\dfrac{m+10}{m+4}\\ y= -\dfrac{3}{m+4}\end{cases}\quad (m \ne -4)$
Như vậy với $m \ne -4$ thì $\min M=0.$
Ta phải xét nốt trường hợp $m=-4$ , lúc đó
$M =(x-2y+1)^{2}+(2x-4y+5)^{2}\underbrace{=}_{a=x-2y}(a+1)^2+(2a+5)^2=5a^2+22a+26$
Suy ra
$M=\left ( a+\dfrac{11}{5} \right )^2+\dfrac{9}{5} \ge \dfrac{9}{5}$
Rõ ràng trong trường hợp này thì
$\min M =\dfrac{9}{5}\Leftrightarrow a=-\dfrac{11}{5}\Leftrightarrow x-2y=-\dfrac{11}{5}$
|