|
|
b)
Đặt $t= \dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}+ 1}{\sqrt 7}\Rightarrow dt =\frac{1}{\sqrt7}(1:\cos^2 \dfrac{x}{2})dx$
Bạn tự chứng minh đẳng thức sau xem như bài tập nhé.
$\dfrac{1}{3+ \sin x+\cos x}=(1:\left[ {\left ( \dfrac{2\tan\dfrac{x}{2}+ 1}{\sqrt 7} \right )^2+1} \right]).\frac{2}{ 7}(1:\cos^2 \dfrac{x}{2})$
Suy ra
$\int\limits_{0}^{\pi/2}\dfrac{1}{3+ \sin x+\cos x}dx=\int\limits_{\frac{1}{\sqrt 7}}^{\frac{3}{\sqrt 7}}\frac{2}{\sqrt 7}.\dfrac{1}{t^2+1}dt=\left[ {\frac{2}{\sqrt 7}\arctan t}
\right]_{\frac{1}{\sqrt 7}}^{\frac{3}{\sqrt 7}}=\frac{2}{\sqrt 7} arccot \frac{5}{\sqrt 7}$
|