|
|
Từ điểm $I$ cố định trong mặt phẳng, ta dựng 3 đoạn $IA,IB,IC$ sao cho:
$\angle BIC=90^o,\angle AIB=150^o,\angle AIC=120^o$
$IA=x\sqrt3,IB=y,IC=z\sqrt3$
Kí hiệu $S(XYZ)$ là diện tích $\Delta XYZ$
Ta có:
$S(ABC)=S(IAB)+S(IBC)+S(ICA)$
$=\frac{1}{2}x\sqrt3.y.\sin 150^o+\frac{1}{2}y.z\sqrt3.\sin90^o+\frac{1}{2}z\sqrt3.x\sqrt3.\sin 120^o$
$=\frac{\sqrt3}{4}(xy+2yz+3zx)$
Suy ra: $xy+2yz+3zx=\frac{4S(ABC)}{\sqrt3}$
Áp dụng định lý hàm số cosin ta có:
$AB^2=IA^2+IB^2-2IA.IB.\cos150^o=3x^2+3xy+y^2=75$
$AC^2=IA^2+IC^2-2IA.IC.\cos120^o=3x^2+3xz+3z^2=48$
Theo định lý Pytago ta có:
$BC^2=IB^2+IC^2=y^2+3z^2=27$
Suy ra: $AB^2=AC^2+BC^2\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $C$.
$\Rightarrow xy+2yz+3zx=\frac{4S(ABC)}{\sqrt3}=\frac{2AC.BC}{\sqrt3}=\frac{2.4\sqrt3.3\sqrt3}{\sqrt3}=24\sqrt3$
|