|
|
Ta sẽ chứng minh $2(x^2+y^2+z^2)+2xyz+1\geq 9$.
BĐT này tương đương với:
$2(x^2+y^2+z^2)+2xyz+1\geq (x+y+z)^2$
$x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx)$
Xét tam thức bậc 2 $f(x)=x^2+2(yz-y-z)x+(y-z)^2+1$
Ta có: $\Delta '=(yz-y-z)^2-(y-z)^2-1=yz(y-2)(z-2)-1$.
Nếu $y,z\leq 2$ thì $0\leq y(2-y),z(2-z)\leq 1$ nên $\Delta '\leq 0$.
Nếu $y>2$ thì do $x+y+z=3$ nên $z<2$, suy ra $yz(y-2)(z-2)<0<1$, ta được $\Delta '<0$.
Tương tự nếu $z>2$ thì $\Delta '<0$.
Tóm lại $\Delta '<0$ nên $f(x)\geq 0,\forall x$ (đpcm).
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$.
|