hàm số

Question

gọi S là tập hợp các số thực lớn hơn -1. tìm tất cả các hàm f:

$S \rightarrow S$ sao cho

$f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$

$\forall x, y \in S$ đồng thời hàm

$\frac{f(x)}{x}$ tăng thực sự trên các khoảng

$-1<x<0$ và

$0<x$

score 5 · Answer 1

Cho

$x=y=0$ ta có:

$f(f(0))=f(0)$ .
Ta sẽ chứng minh

$f(x)=x\Leftrightarrow x=0$ .
Thật vậy:
Giả sử tồn tại

$a\in(-1,0)$ sao cho

$f(a)=a$ .
Thay

$x=y=a$ ta có:

$f(a^2+2a)=a^2+2a$
Suy ra:

$\frac{f(a)}{a}=\frac{f(a^2+2a)}{a^2+2a}=1$
Mà

$a\in(-1,0)\Rightarrow a^2+2a\in(-1,0)$ , vô lý.
Suy ra:

$f(x)\ne x,\forall x\in(-1,0)$
Tương tự:

$f(x)\ne x,\forall x\in(0,+\infty)$ .
Mà

$f(f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0$ .
Cho

$x=y$ ta có:

$f(x+f(x)+x(f(x))=x+f(x)+xf(x)$

$\Rightarrow x+f(x)+xf(x)=0\Rightarrow f(x)=\frac{-x}{1+x},\forall x\in(-1,+\infty)$ , thỏa mãn.

đọc giải mà ko biết làm sao ra thế – banhquykeomut 30-11-12 09:08 PM

1 Đáp án