Giải bài này với mọi người

Question

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn các diều kiện:
$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\leq1$ và $\frac{4}{z}+y\leq2$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P(x,y,z)=x+9y+z$

score 1 · Answer 1

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Từ giả thiết dễ thấy $1<y<2$. Ta có:
$\frac{2}{x}\leq 1-\frac{1}{y}=\frac{y-1}{y}\Rightarrow x\geq \frac{2y}{y-1}$
$\frac{4}{z}\leq 2-y\Rightarrow z\geq \frac{4}{2-y}$
Từ đó suy ra:
$P=x+9y+z\geq \frac{2y}{y-1}+9y+\frac{4}{2-y}=2+\frac{2}{y-1}+9y+\frac{4}{2-y}$
Áp dụng BĐT Cauchy:
$\frac{2}{y-1}+18(y-1)\geq 12$
$\frac{4}{2-y}+9(2-y)\geq 12$
Cộng 2 BĐT trên vế theo vế ta được:
$\frac{2}{y-1}+\frac{4}{2-y}+9y\geq 24$
Do đó $P\geq 26$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=8,y=\frac{4}{3},z=6$.

Hỏi	26-11-12 10:29 PM
Lượt xem	964
Hoạt động	28-11-12 08:06 AM

Giải bài này với mọi người

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Giải bài này với mọi người

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan