Cực trị.

Question

Cho các số thực

$a,\,b \in \left[1,\,2\right]$ . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

$P=\frac{(a+b)^2}{a^3+b^3}$

score 6 · Answer 1

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

Đặt

$\begin{cases}a=x+1 \\ b=y+1 \end{cases}\Rightarrow 0 \le x,y \le 1$ .
Ta sẽ chứng minh

$P \ge 1$ bằng cách chứng minh

$a+b \ge a^2+b^2-ab$ .
Thậy vậy

$\Leftrightarrow x+y+2 \ge (x+1)^2+(y+1)^2-(x+1)(y+1)$

$\Leftrightarrow 1+xy \ge x^2+y^2$
Mặt khác điều này hiển nhiên đúng do

$\begin{cases}x \ge x^2 \\ y\ge y^2\\(1-x)(1-y) \ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x \ge x^2 \\ y\ge y^2\\1+xy \ge x+y \end{cases} \Rightarrow 1+xy \ge x^2+y^2$
Vậy

$\min P =1 \Leftrightarrow (x,y)\in \{ (1,0),(0,1),(1,1)\}\Leftrightarrow (a,b)\in \{ (1,2),(2,1),(2,2)\}$

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 27-11-12 09:21 PM

score 3 · Answer 2

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Ta có:

$\begin{cases} (a-1)(a-2)\leq 0\\ (b-1)(b-2)\leq 0\\ (a-2)(b-2)\geq 0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^2\leq 3a-2\\ b^2\leq 3a-2\\ 3(a+b)-ab-4\leq a+b\end{cases}\Rightarrow a^2-ab+b^2\leq a+b$
Từ đó suy ra

$P=\frac{(a+b)^2}{a^3+b^3}\geq 1.$
Dấu

$=$ xảy ra khi và chỉ khi

$(a,b)\in \{ (1,2),(2,1),(2,2)\}$ .

score 6 · Answer 3

Bình chọn tăng 6 Bình chọn giảm

+ Tìm max :
Ta có

$\begin{cases}a^2 \ge a \\b^2 \ge b \\a^2+b^2 \ge 2ab \end{cases}\Rightarrow 2(a^2+b^2) \ge 2ab+a+b$

$\Rightarrow 2(a^2+b^2-ab) \ge a+b \Rightarrow 2(a+b)^3 \ge (a+b)^2 \Rightarrow P \le 2.$
Vậy

$\max P = 2\Leftrightarrow a=b=1.$

thif like – duachua.no1 26-11-12 10:26 PM

like nha – yeuhoahocneu 26-11-12 10:19 PM

thanks nha – gaara.sshn 26-11-12 09:55 PM

hya đó b – luffykunneu 26-11-12 09:44 PM

nhưng hơi khó nhỉ – babylionneu 26-11-12 09:04 PM

chỉ có max thôi ah? – banhquykeomut 26-11-12 08:11 PM

Còn GTNN sao anh Tân ơi? – Xusint 26-11-12 07:43 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 26-11-12 05:45 PM

score 5 · Answer 4

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Ta có:

$(a+b)(a-b)^2\ge0$

$\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$

$\Leftrightarrow 4(a^3+b^3)\ge(a+b)^3$
Suy ra:

$P\le\frac{4(a+b)^2}{(a+b)^3}=\frac{4}{a+b}\le2$ , do

$a,b\ge1$
Max

$P=2\Leftrightarrow a=b=1$

thif vote – duachua.no1 26-11-12 10:26 PM

like nha b – yeuhoahocneu 26-11-12 10:19 PM

thanks nha – gaara.sshn 26-11-12 09:55 PM

like cách này hơn – banhquykeomut 26-11-12 08:12 PM

Còn GTNN thì sao anh Khang ạ? – Xusint 26-11-12 07:42 PM

Hỏi	26-11-12 05:24 PM
Lượt xem	3623
Hoạt động	27-11-12 09:21 PM

Cực trị.

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Cực trị.

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan