Bài toán chứng minh yếu tố trong tam giác.

Question

Cho

$\Delta ABC$ có

$\hat{A}=60^0$ ,

$I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Qua

$I$ kẻ đường thẳng song song với

$AC$ cắt

$AB$ tại

$F.$ Trên

$BC$ lấy

$P$ sao cho

$3BP=BC$ . Chứng minh rằng:

$\widehat{BFP}=\dfrac{1}{2} \widehat{ABC}$

score 4 · Answer 1

Lấy

$K\in AB$ sao cho

$\angle BKC=\angle ABI$ (A nằm giữa B và K).
Ta sẽ chứng minh rằng:

$\frac {BF}{FK}=\frac {1}{2}$ .
Ta có:

$120^{o}= \angle B+ \angle C$

$\Rightarrow 60^{o} =\frac {\angle B}{2}+\frac {\angle C}{2} \Rightarrow\angle ACK=\angle ICA$ .
Kẻ

$AJ\perp AK ( J\in KC)$ và

$IM\perp BA(M \in BA)$
Ta có:

$\angle JAC=\angle CAI=30^{o}$

$\Rightarrow \bigtriangleup JAC=\bigtriangleup IAC$ .

$\Rightarrow JA=AI=2IM$
Mặt khác:

$\bigtriangleup KAJ \thicksim \bigtriangleup BMI$

$\Rightarrow \frac {BM}{AK}=\frac {IM}{AJ}= \frac {1}{2}$ .
Mà

$\frac {MF}{FA}=\frac {MF}{FI}=\frac {1}{2}$ .
Suy ra:

$\frac {BF}{FK}=\frac {BM+MF}{FA +AK}=\frac {1}{2}$ , đpcm.

1 Đáp án