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Đặt $t=-x \Leftrightarrow dt$=-dx
$I=\int_{-2012}^{2012}\ln(\sqrt{x^{2010}+1}+x^{1005})dx$
$I=\int_{2012}^{-2012}-\ln(\sqrt{t^{2010}+1}-t^{1005})dt$
$I=\int_{-2012}^{2012}\ln(\sqrt{t^{2010}+1}-t^{1005})dt$
$I=\int_{-2012}^{2012}\ln\frac{1}{\sqrt{t^{2010}+1}+t^{1005}}dt$
$I=\int_{-2012}^{2012}-\ln(\sqrt{t^{2010}+1}+t^{1005})dt$
$I=-I$
$\boxed{I=0}$
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