làm vài bài giới hạn cho vui nào

Question

Cho dãy số $(X_n)$ $\left\{\begin{matrix}X_1=1 \\ X_{n+1}=\sqrt{X^2_n+X_n+1}-\sqrt{X^2_n-X_n+1}\end{matrix}\right.$

a) CMR: dãy số trên có giới hạn

b) Tìm giới hạn đó

score 4 · Answer 1

a)
Ta có: $X_n>0,\forall n\in\mathbb{N}^*$.
Thật vậy: $X_1>0$.
Với $X_k>0\Rightarrow X_k^2+X_k+1>X_k^2-X_k+1$
$\Rightarrow X_{k+1}>0$
Theo quy nạp suy ra: $X_n>0,\forall n\in\mathbb{N}^*$.
Lại có:
$\sqrt{X_n^2+X_n+1}+\sqrt{X_n^2-X_n+1}$
$=\sqrt{\left(X_n+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}-X_n\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}$
$\ge\sqrt{\left(X_n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-X_n\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=2$
Suy ra:
$X_{n+1}=\frac{2X_n}{\sqrt{X_n^2+X_n+1}+\sqrt{X_n^2-X_n+1}}$
$\le\frac{2X_n}{2}=X_n$
Suy ra: $X_n$ là dãy giảm và bị chặn dưới $\Rightarrow \exists \lim X_n$.

b) Giả sử: $\lim X_n=L$
Suy ra: $L=\sqrt{L^2+L+1}-\sqrt{L^2-L+1}\Leftrightarrow L=0$
Vậy: $\lim X_n=0$

đáp án hay – banhquykeomut 19-11-12 09:06 PM

vote vote – phong8 19-11-12 09:06 PM

ngon rồi/// – gaara.sshn 19-11-12 08:57 PM

đáp án chuẩn luôn – kellyhoang297 19-11-12 08:33 PM

thanks nha – luffykunneu 19-11-12 08:27 PM

score 3 · Answer 2

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Ta có: $X_{n+1}=\frac{2X_n}{\sqrt{X_n^2+X_n+1}+\sqrt{X_n^2-X_n+1}} (*)$
Áp dụng BĐT $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$ với $a=c=\frac{\sqrt{3}}{2},b=\frac{1}{2}+X_n,d=\frac{1}{2}-X_n$ ta được: $\sqrt{X_n^2+X_n+1}+\sqrt{X_n^2-X_n+1}\geq 2.$
Do đó $X_{n+1}\leq X_n,\forall n$ hay dãy $(X_n)$ là dãy giảm.
Vì $X_n>0,\forall n$ nên tồn tại $\lim_{n\to \infty}X_n=L\geq 0$.
Từ $(*)$ cho $n\to \infty$ ta được: $L=\frac{2L}{\sqrt{L^2+L+1}+\sqrt{L^2-L+1}}$ suy ra $L=0$.

vote vote – phong8 19-11-12 09:06 PM

hay hay hay – gaara.sshn 19-11-12 08:58 PM

thanks nha – luffykunneu 19-11-12 08:27 PM

Hỏi	19-11-12 05:20 PM
Lượt xem	1193
Hoạt động	19-11-12 06:13 PM

làm vài bài giới hạn cho vui nào

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

làm vài bài giới hạn cho vui nào

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan