|
|
Dùng công thức Stewart để có được công thức về đường phân giác. Bạn có thể xem tại đây
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/114599/chung-minh-ho-em-voi
Ta có
$\begin{cases}l_a=\frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)} \\ l_b=\frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)} \end{cases}$
Giả sử
$l_a=l_b\Leftrightarrow l_a^2=l_b^2 \Leftrightarrow \frac{4}{(b+c)^2}bcp(p-a)=\frac{4}{(a+c)^2}acp(p-b)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{(b+c)^2}b(p-a)=\frac{1}{(a+c)^2}a(p-b)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{(b+c)^2}b\frac{b+c-a}{2}=\frac{1}{(a+c)^2}a\frac{a+c-b}{2}$
$\Leftrightarrow b(a+c)^2(b+c-a)=a(b+c)^2(a+c-b)$
$\Leftrightarrow b(a+c)^2(b+c-a)-a(b+c)^2(a+c-b)=0$
Thực hiện khai triển và phân tích thành nhân tử ta được
$\Leftrightarrow (a-b)(ab^2+a^2b+bc^2+ac^2+3abc+c^3)=0$
$\Leftrightarrow a=b$
$\Leftrightarrow $ tam giác là tam giác cân.
|