Lượng giác

Question

Tam giác nhọn

$ABC$ có các góc

$A, B, C$ thỏa mãn hệ thức:

a)

$\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}+\frac{1}{\cos C}=\frac{1}{\sin \frac{A}{2} }+\frac{1}{\sin \frac{B}{2} }+\frac{1}{\sin \frac{C}{2} }$
b)

$2(\sin A+\sin B +\sin C)=\tan A+\tan B+\tan C$
c)

$\cos A \cos B \cos C=\sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}$

Chứng minh

$ABC$ là tam giác đều.

score 3 · Answer 1

a)
Tam giác

$ABC$ có các góc

$A, B, C$ nhọn nên:

$\cos A>0, \cos B>0$ và

$\cos C>0$ .
Ta có

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ , suy ra:

$\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}\geq \frac{4}{\cos A+\cos B}= \frac{4}{2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} }=\frac{2}{\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2} }$
Vậy

$\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}\geq \frac{2}{\sin \frac{C}{2} }$ .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos A=\cos B\\ \cos \frac{A-B}{2}=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow A=B.$
Tương tự, ta có:

$\frac{1}{\cos B}+\frac{1}{\cos C}\geq \frac{2}{\sin \frac{A}{2} },$
dấu "=" xảy ra khi

$B=C$ , và:

$\frac{1}{\cos C}+\frac{1}{\cos A}\geq \frac{2}{\sin \frac{B}{2} },$
dấu "=" xảy ra khi

$C=A$ . Cộng (1), (2) và (3) từng vế một ta được:

$\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}+\frac{1}{\cos C}\geq \frac{1}{\sin \frac{A}{2} }+\frac{1}{\sin \frac{B}{2} }+\frac{1}{\sin \frac{C}{2} }$ .
dấu "=" xảy ra khi

$A=B=C$ . Theo đề bài, dấu bằng đã xảy ra nên

$\Delta ABC$ là tam giác đều.

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!

Hỏi	16-11-12 08:51 PM
Lượt xem	1378
Hoạt động	16-11-12 11:36 PM

Lượng giác

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Lượng giác

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan