bài thứ 2 nhá

Question

cho $a,b> 0, a+b=\frac{1}{2}$. CM: $\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{10}{\sqrt{a}}+\frac{10}{\sqrt{b}}\geq 48$

Pooh · Answer 1 · 11/19/2012 8:27:14 PM

Lời giải của nguyenlinhkhang1995
Ta có
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}\leq2(a+b)=1 ==>\sqrt{a}+\sqrt{b} \leq 1 (*)$
xét vế trái của bất đảng thức

$VT=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{4}{\sqrt{a}}+\frac{4}{\sqrt{b}} +6\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}} \right )(**)$
cô-si cho 3 số đầu của$(**)$ và từ $(*)$ ta có

$VT\geq 3\sqrt[3]{\frac{16}{(a^{2}+b^{2}).\sqrt{ab}}} +\frac{6}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
$\Leftrightarrow VT\geq 3\sqrt[3]{\frac{16}{(\frac{1}{4}-2ab)\sqrt{ab}}} +24$
Ta cần chứng minh $\left ( \frac{1}{4} -2ab\right )\sqrt{ab}\leq \frac{1}{32}$
có $a+b=1/2\geq 2\sqrt{ab} ==>\sqrt{ab}\leq 1/4$
Xét $f(t)=(1/4-2t^{2}).t$
$f'(t)=-6t^{2}+1/4 $luôn âm với mọi t thuộc từ 0;1/4
==>$f_max=1/32$ ==> điều phải chứng minh

lịch sử

Sửa 19-11-12 08:27 PM

Pooh
1

122K 282K

Trả lời 19-11-12 01:04 PM

Pooh
1

122K 282K

score 4 · Answer 2

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Cô-si ta có:
\[\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{4}{\sqrt{a}}+\frac{4}{\sqrt{a}}+\frac{4}{\sqrt{b}}+\frac{4}{\sqrt{b}}\geq 5.\sqrt[5]{\frac{4^4}{(a^2+b^2)ab}}\]
\[=5.\sqrt[5]{\frac{2^{11}}{8(a^2+b^2)ab}}= 5.\sqrt[5]{\frac{2^{11}}{4(a^2+b^2)2ab}}\]
\[\geq 5.\sqrt[5]{\frac{2^{11}}{(a+b)^4}}=5.\sqrt[5]{2^{15}}=40\]
Và mặt khác ta lại có:
\[\frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{b}}\geq \frac{4}{\sqrt[4]{ab}}\geq \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{a+b}}\]
\[=4\sqrt{2}.\sqrt{2}=8\]
Cộng theo từng vế hai BĐT trên và ta có đpcm.

Cách giải này có vấn đề j bạn? – Minsoft 04-01-13 10:07 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 21-11-12 11:46 PM

Hỏi	15-11-12 05:05 PM
Lượt xem	1971
Hoạt động	21-11-12 11:45 PM

bài thứ 2 nhá

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

bài thứ 2 nhá

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan