Tích phân nhé, ai làm dc

Question

Tính:

$I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{x + (x + \sin x)\sin x}{\sin^2 x (1 + \sin x)} dx$

score 4 · Answer 1

$I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{x + (x + \sin x)\sin x}{\sin^2 x (1 + \sin x)} dx$

$I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{x}{\sin^2 x}dx+ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{1 + \sin x} dx$

$I=I_1+I_2$
Trong đó

$I_1=\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{xdx}{\sin^2x}=\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \left (\cot x -\cot x+ \frac{x}{\sin^2x} \right )dx$

$= \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \cot xdx- \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \left (\cot x- \frac{x}{\sin^2x} \right )dx$

$= \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{d(\sin x)}{\sin x}- \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \left (x\cot x \right )'dx$

$=\left[ {\ln |\sin x|-x\cot x} \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}$

$=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt 3}\pi}$

$I_2= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{1}{1 + \sin x} dx$

$=2 \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{(\sin\frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2})(\sin\frac{x}{2})'-(\sin\frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2})'(\sin\frac{x}{2})}{(\sin\frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2})^2} dx$

$=2 \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \left ( \frac{\sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}} \right )' dx$

$=\left[ { 2\frac{\sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}} } \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}$

$4-2\sqrt 3$

Vậy

$\boxed{I=\frac{1}{\sqrt 3}\pi+4-2\sqrt 3}$

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks!

Hỏi	13-11-12 06:59 PM
Lượt xem	1404
Hoạt động	13-11-12 08:06 PM

Tích phân nhé, ai làm dc

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Tích phân nhé, ai làm dc

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan