|
|
$\textbf{Cách 1}$
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta có
Đặt
$\begin{cases}u=e^{2x} \\ dv=\cos x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=2e^{2x} dx\\ v=\sin x \end{cases}$
Do đó
$I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}udv=uv|_0^{\pi/2}-\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}vdu$
$=\left[ {e^{2x}\sin x} \right]_0^{\pi/2}-\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}2e^{2x}\sin xdx$
$=e^\pi-2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}e^{2x}\sin xdx$
Đặt
$\begin{cases}u=e^{2x} \\ dv=\sin x dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=2e^{2x} dx\\ v=-\cos x \end{cases}$
Do đó
$I=$$e^\pi-2\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}e^{2x}\sin xdx=e^\pi-2\left (\left[ {-e^{2x}\cos x} \right]_0^{\pi/2}+\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}2e^{2x}\cos xdx \right )$
Suy ra
$I=e^\pi-2-4I\Rightarrow \boxed{I=\displaystyle \frac{e^\pi-2}{5}}$
|