bài này nữa

Question

Cho PT :

$ax^{2}+bx +c=0$ có nghiệm và

$q>0$ . CMR :

$2ax^{2}+b(q+ q^{-1})x + c( q^{\sqrt{2}}+ q^{-\sqrt{2}})=0$ có nghiệm

2 bài này em huyen0208 đăng rồi nhưng k thấy giải, nên đăng lại. Kiến nghị các ad giải chi tiết k nên ẩn bài

score 5 · Answer 1

Do

$ax^2+bx+c=0$ có nghiệm

$\Rightarrow b^2\ge4ac$
Xét hàm:

$f(x)=2ax^2+b(q+q^{-1})x+c(q^{\sqrt2}+q^{-\sqrt2})$
Không mất tính tổng quát, xét

$q\ge1$ vì nếu thay

$q$ bởi

$\frac{1}{q}$ thì

$f(x)$ không thay đổi.
Ta có:

$\Delta=b^2(q+q^{-1})^2-8ac(q^{\sqrt2}+q^{-\sqrt2})$

$=b^2q^2+2b^2+b^2q^{-2}-8acq^{\sqrt2}-8acq^{-\sqrt2}$

$=q^{-2}g(q)$ với

$g(q)=b^2q^4+2b^2q^2+b^2-8acq^{2+\sqrt2}-8acq^{2-\sqrt2}, q\ge1$
Ta có:

$g'(q)=4b^2q^3+4b^2q-8(2+\sqrt2)acq^{1+\sqrt2}-8(2-\sqrt2)acq^{1-\sqrt2}$

$=q^{1-\sqrt2}h(q)$ , với

$h(q)=4b^2q^{2+\sqrt2}+4b^2q^{\sqrt2}-8(2+\sqrt2)acq^{2\sqrt2}-8(2-\sqrt2)ac, q\ge1$

$h'(q)=4(2+\sqrt2)b^2q^{1+\sqrt2}+4\sqrt2b^2q^{\sqrt2-1}-16(2+\sqrt2)\sqrt2acq^{2\sqrt2-1}$

$=q^{\sqrt2-1}k(q)$ , với

$k(q)=4(2+\sqrt2)b^2q^2+4\sqrt2b^2-16(2+\sqrt2)\sqrt2acq^{\sqrt2}, q\ge1$

$k'(q)=8(2+\sqrt2)b^2q-32(2+\sqrt2)acq^{\sqrt2-1}\ge0$ , do

$b^2\ge4ac, q\ge q^{\sqrt2-1}$

$\Rightarrow k(q)\ge k(1)=4(2+\sqrt2)b^2+4\sqrt2b^2-16(2+\sqrt2)\sqrt2ac=4\sqrt2(2+\sqrt2)(b^2-4ac)\ge0$

$\Rightarrow h'(q)\ge0,\forall q\ge1$

$\Rightarrow h(q)\ge h(1)=8b^2-32ac\ge0$

$\Rightarrow g'(q)\ge0,\forall q\ge1$

$\Rightarrow g(q)\ge g(1)=4b^2-16ac\ge0$

$\Rightarrow \Delta \ge0\Rightarrow f(x)=0$ có nghiệm.

1 Đáp án