Ta sẽ chứng minh rằng M≥30. Và suy ra 30 là GTNN của nó.
Và bài toán này tương đương với bài toán sau :
Bài toán
Cho 3 số dương x,y,z và x+y+z=1
Chứng minh : 1x2+y2+z2+1xyz≥30
Chứng minh
Sử dụng bđt Cô-si ta có
(xy+yz+xz)(x+y+z)≥9xyz⇔1xyz≥9(xy+yz+xz)(x+y+z)
Ta sẽ chứng minh
1x2+y2+z2+9xy+yz+xz≥30
Đặt x2+y2+z2=u; và xy+yz+xz=v ; ta có u+2v=1,u≥v.
Ta có
1u+9v=9u+vuv=(9u+v)(u+2v)uv=9u2+19uv+2v2uv=(u−v)(9u−2v)+30uvuv≥30uvuv=30, đpcm.
Đẳng thức xảy ra x=y=z=13.