|
|
PT $\Leftrightarrow \dfrac{x^{2011}-1}{x-1}=y^5-1$
Chú ý rằng $2011$ là số nguyên tố.
Gọi $p$ là một ước nguyên tố của $\dfrac{x^{2011}-1}{x-1}$
+ Trường hợp 1:
$p|x-1\Rightarrow x^{2010}+...+x+1 \equiv 2011 \pmod{p}$
Suy ra $p=2011$.
+ Trường hợp 2:
$x-1$ không chia hết cho $p$ do đó $p|x^{2011}-1$ và từ $2011$ là số nguyên tố nên $2011$ là bậc của $p$ và theo định lý Fermat nhỏ thì $p|x^{p-1}-1 \Rightarrow 2011|p-1$
Suy ra $p \equiv 1 \pmod{2011}$
Từ hai trường hợp trên, suy ra mọi ước nguyên tố của $\dfrac{x^{2011}-1}{x-1}$ đều có dạng $2011$ hoặc $2011k+1$
Từ $\dfrac{x^{2011}-1}{x-1}=(y-1)(y^4+y^3+y^2+y+1)$.
suy ra mọi ước nguyên tố của $y-1$ và $y^4+y^3+y^2+y+1$ đều có dạng $2011$ hoặc $2011k+1$.
+ Nếu $2011|y-1$ thì $y^4+y^3+...+y+1 \equiv 5 \pmod{2011}$ then $y^4+y^3+...+y+1$ không thể mọi nguyên tố của $y-1$ và $y^4+y^3+y^2+y+1$ đều có dạng $2011$ hoặc $2011k+1$, vô lý.
+ Nếu $y-1$ không chia hết cho $2011$ suy ra mọi ước nguyên tố của $y-1$ đều có dạng $2011k+1$.
Từ đó $y-1 \equiv 1 \pmod{2011} \Rightarrow y \equiv 2 \pmod{11}$ nên $y^4+y^3+...+y+1 \equiv 31 \pmod{2011}$ và như trên cũng suy ra vô lý.
Vậy PT đã cho vô nghiệm.
|