Thử xem nào

Question

cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là 1 tam giác vuông và SA=SB=SC=a . Gọi M,N,E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC,D là điểm đối xứng của S qua E, I là giao điểm của đường thẳng AD với mp(SMN) .
Chứng minh AD vuông góc với SI và tính thể tích của tứ diện MBSI theo a

score 2 · Answer 1

+) Xác định

$I$ : Trong

$(ABC)$ kẻ

$AE$ cắt

$MN$ tại

$J$ . Trong

$(SAD)$ kẻ

$SJ$ cắt

$AD$ tại

$I$ .

+) Để chứng minh

$SI$ vuông góc với

$AD$ , ta sẽ chứng minh

$SJ$ vuông góc với

$AD$ .
Thật vậy,

$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SC}$ .
Dễ thấy

$J$ là trung điểm

$MN$ nên

$4\overrightarrow{SJ}=2(\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{SN})=2\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}$ .
Do

$SA,SB,SC$ đôi một vuông góc nên ta có:

$4\overrightarrow{SJ}.\overrightarrow{DA}=2SA^2-SB^2-SC^2=0$ .
Vậy

$SJ$ vuông góc với

$AD$ hay

$SI$ vuông góc với

$AD$ .

+) Gọi

$K$ là trung điểm

$DE$ . Vì

$J$ là trung điểm

$AE$ nên

$JK//AD$ . Ta có:

$\frac{SI}{SJ}=\frac{SD}{SK}=\frac{4}{3}$ .
Kí hiệu

$d_T$ là khoảng cách từ điểm

$T$ trong không gian đến

$(SAB)$ . Khi đó:

$d_I=\frac{4}{3}d_J=\frac{2}{3}d_N=\frac{1}{3}d_c=\frac{a}{3}$ .
Ta có

$V_{MBSI}=\frac{1}{3}d_I.S_{SMB}=\frac{1}{6}d_I.S_{SAB}=\frac{1}{6}.\frac{a}{3}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3}{36}$ .

Hỏi	06-11-12 08:28 PM
Lượt xem	1847
Hoạt động	07-11-12 10:22 AM

Thử xem nào

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Thử xem nào

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan