Thử xem nào

Question

cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là 1 tam giác vuông và SA=SB=SC=a . Gọi M,N,E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC,D là điểm đối xứng của S qua E, I là giao điểm của đường thẳng AD với mp(SMN) .
Chứng minh AD vuông góc với SI và tính thể tích của tứ diện MBSI theo a

score 2 · Answer 1

+) Xác định $I$: Trong $(ABC)$ kẻ $AE$ cắt $MN$ tại $J$. Trong $(SAD)$ kẻ $SJ$ cắt $AD$ tại $I$.

+) Để chứng minh $SI$ vuông góc với $AD$, ta sẽ chứng minh $SJ$ vuông góc với $AD$.
Thật vậy, $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SC}$.
Dễ thấy $J$ là trung điểm $MN$ nên $4\overrightarrow{SJ}=2(\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{SN})=2\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}$.
Do $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc nên ta có: $4\overrightarrow{SJ}.\overrightarrow{DA}=2SA^2-SB^2-SC^2=0$.
Vậy $SJ$ vuông góc với $AD$ hay $SI$ vuông góc với $AD$.

+) Gọi $K$ là trung điểm $DE$. Vì $J$ là trung điểm $AE$ nên $JK//AD$. Ta có: $\frac{SI}{SJ}=\frac{SD}{SK}=\frac{4}{3}$.
Kí hiệu $d_T$ là khoảng cách từ điểm $T$ trong không gian đến $(SAB)$. Khi đó:
$d_I=\frac{4}{3}d_J=\frac{2}{3}d_N=\frac{1}{3}d_c=\frac{a}{3}$.
Ta có $V_{MBSI}=\frac{1}{3}d_I.S_{SMB}=\frac{1}{6}d_I.S_{SAB}=\frac{1}{6}.\frac{a}{3}.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3}{36}$.

Hỏi	06-11-12 08:28 PM
Lượt xem	1254
Hoạt động	07-11-12 10:22 AM

Thử xem nào

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Thử xem nào

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan