chứng minh

Question

Cho

$|z|=1$ (z là số phức)

Chứng minh rằng :

$1\leq |1+z^3|+|z^2+z+1|\leq 5$

em thấy đề này hay hay nên em đăng thử xem đấy.hi

score 3 · Answer 1

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Chứng minh BĐT vế trái

$|1+z^3|+|z^2+z+1|$

$=\sqrt{2+2 \cos3 \phi}+\sqrt{3+4 \cos \phi+2 \cos2 \phi}$

$=\sqrt{2+8x^3-6x}+\sqrt{4x^2+4x+1}$ với

$x = \cos \phi \in [-1,1]$ .

$=\sqrt{2+8x^3-6x}+|2x+1|$
Việc còn lại là đi chứng minh

$\sqrt{2+8x^3-6x}+|2x+1| \ge 1 (*)$
Thật vậy,
+ Xét

$1 \ge x \ge -1/2$

$(*)\Leftrightarrow\sqrt{2+8x^3-6x}+2x+1 \ge 1 \Leftrightarrow\sqrt{2+8x^3-6x} \ge -2x$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 0 \ge x \ge -1/2 \\2+8x^3-6x - 4x^2 \ge0 \end{cases}$
Dễ kiểm tra pt

$f(x)=2+8x^3-6x - 4x^2=0$ có

$3$ nghiệm

$x_3=1, 1 \ge x_1, x_2 \ge -1/2\Rightarrow f(x) \ge 0$ , luôn đúng.
+ Xét

$-1 \le x <-1/2$

$(*)\Leftrightarrow\sqrt{2+8x^3-6x}-2x-1 \ge 1 \Leftrightarrow\sqrt{2+8x^3-6x} \ge 2+2x$

$\Leftrightarrow2+8x^3-6x \ge (2+2x)^2$
Dễ kiểm tra pt

$f(x)=2+8x^3-6x - (2+2x)^2=0$ có

$3$ nghiệm

$x_3>1, x_1=-1, x_2> -1/2\Rightarrow f(x) \ge 0$ , luôn đúng.

Thanks jenvy nhé! – Trần Nhật Tân 06-11-12 08:41 AM

vote cho anh nhé – phaosa 06-11-12 08:41 AM

mấy dạng này đúng là đau hết đầu – kellyhoang297 05-11-12 08:53 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 03-11-12 07:51 PM

score 4 · Answer 2

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Chứng minh BĐT vế phải
Do

$|z|=1$ nên

$z= \cos \phi + i \sin \phi$ .
Ta có

$|1+z^3|+|z^2+z+1|$

$=|(1+ \cos3 \phi) + i \sin 3\phi|+|(1+\cos 2\phi+ \cos \phi)+i(\sin 2\phi + \sin \phi)|$

$=\sqrt{(1+ \cos3 \phi)^2+\sin^2 3\phi}+\sqrt{(1+\cos 2\phi+ \cos \phi)^2+(\sin 2\phi + \sin \phi)^2 }$

$=\sqrt{2+2 \cos3 \phi}+\sqrt{3+2 \cos \phi+2 \cos2 \phi+2 \cos \phi \cos2 \phi +2\sin 2\phi \sin \phi}$

$=\sqrt{2+2 \cos3 \phi}+\sqrt{3+2 \cos \phi+2 \cos2 \phi+2 \cos (2\phi-\phi)}$

$=\sqrt{2+2 \cos3 \phi}+\sqrt{3+4 \cos \phi+2 \cos2 \phi}$
Do

$\cos \phi, \cos2 \phi, \cos3 \phi \le 1$ nên ta có

$|1+z^3|+|z^2+z+1| \le \sqrt{2+2 }+\sqrt{3+4 +2 }=5$

vote cho anh – phaosa 06-11-12 08:40 AM

ok thanks. Vote for me! :-> – Trần Nhật Tân 03-11-12 10:25 PM

you're right :D – fractal8055 03-11-12 10:17 PM

Mình làm như thế để chứng minh BĐT cho cả vế trái! – Trần Nhật Tân 03-11-12 07:51 PM

chứng minh chiều này thì không cần vất vả như thế. chỉ cần |x y| không lớn hơn |x| |y| là xong :D – fractal8055 03-11-12 07:31 PM

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 03-11-12 07:20 PM

Hỏi	03-11-12 06:34 PM
Lượt xem	2118
Hoạt động	03-11-12 07:50 PM

chứng minh

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

chứng minh

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan