|
|
$\textbf{Cách 2}$
Đặt $a=\sqrt[3]{6x-3x^2}$ ta được hệ
$\begin{eqnarray}x^3-x-3 &=& 2a\\6x-3x^2 &=& a^3\end{eqnarray}$
Cộng theo từng vế ta có
$x^3-3x^2+5x-3=a^3+2a (1)$
$\Leftrightarrow (x-1)^3+2(x-1)=a^3+2a$
Đặt $y =x-1$ ta được
$y^3+2y=a^3+2a$
$\Leftrightarrow (y-a)(y^2+ay+a^2+2)=0$
Dễ thấy $y^2+ay+a^2+2>0\Rightarrow y=a\iff a=x-1$
Từ $(1)$ suy ra $x^3-x-3=2x-2\iff x^3-3x=1$
Đặt $x=2t$ ta có
$8t^3-6t=1\iff 4t^3-3t={1\over 2}$
Suy ra tồn tại $\phi$ thỏa mãn $t=\cos\phi$, do đó
$\cos 3\phi={1\over 2}\iff 3\phi=\pm{\pi\over 3}+2k\pi\iff \phi=\pm{\pi\over 9}+{2k\pi\over 3},k\in\mathbb{Z}$
Và $x=2\cos\phi=2\cos\left(\pm{\pi\over 9}+{2k\pi\over 3}\right)$,
Vậy $x\in\left\{2\cos{\pi\over 9},2\cos{5\pi\over 9},2\cos{7\pi\over 9}\right\}$.
|