lăng trụ

Question

cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. 1 đoạn thẳng $DE$ trong không gian có hình chiếu trên $(ABC)$ theo phương $AA'$ là $D'E'$ sao cho $D'E'$ không cắt tam giác $ABC$.
Chứng minh rằng : $V_{DEAA'}+ V_{DEBB'} + V_{DECG} = 3V_{DEGG'} $ với $G, G'$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $A'B'C'$

score 3 · Answer 1

Xét bài toán tính thể tích với tứ diện $ABCD$. Giả sử $AC$ và $BD$ tạo với nhau góc $\alpha$ và $d$ là độ dài đoạn vuông góc chung của $AC$ và $BD$. Khi đó $V_{ABCD}=\frac{1}{6}AC.BD.d\sin \alpha (*)$.

Dựng hình hộp $AEFG.CBDH$ như hình vẽ và ký hiệu $h$ là khoảng cách từ $A$ tới $(CBDH)$. Ta có:
$V_{AEFG.CBDH}=S_{CBDH}.h=2S_{BCD}.h=6V_{ABCD}.$
Lại có: $V_{AEFG.CBDH}=S_{BDFE}.d=BE.BD.d\sin \widehat{DBE}=AC.BD.d\sin \alpha$.
Do đó: $V_{ABCD}=\frac{1}{6}AC.BD.d\sin \alpha$.
Trở lại bài toán:
Ký hiệu $d_1,d_2,d_3,d$ khoảng cách từ $DE$ tới các đường thẳng $AA',BB',CC',GG'$ và $\alpha$ là góc tạo bởi $DE$ và $AA', BB',CC',GG'$.
Vì $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ và $G,G'$ là trọng tâm $\Delta ABC,\Delta A'B'C'$ nên $AA'=BB'=CC'=GG'=l$ và $d_1+d_2+d_3=3d$.
Áp dụng công thức $(*)$ ta có:
$V_{DEAA'}+V_{DEBB'}+V_{DECC'}$
$=\frac{1}{6}\left( DE.AA'.d_1\sin \alpha +DE.BB'.d_2\sin \alpha +DE.CC'.d_3\sin \alpha\right)$
$=\frac{1}{6}DE.l(d_1+d_2+d_3)\sin \alpha =3.\frac{1}{6}DE.GG'.d\sin \alpha =3V_{DEGG
}.$

Hỏi	25-10-12 07:58 PM
Lượt xem	1396
Hoạt động	26-10-12 09:59 PM

lăng trụ

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

lăng trụ

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan