tranh thủ lên hỏi các ad mấy câu

Question

Cho

$x,y\neq 0$ thỏa

$(x+y)xy=x^2+y^2-xy$ , tìm Max

$\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}$

score 3 · Answer 1

Đặt

$\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$ thì giả thiết trở thành:

$\frac{1}{ab}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) =\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{ab}$ hay

$a+b=a^2+b^2-ab (1)$
Bài toán trở thành: Tìm GTLN của

$P=a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=(a+b)^2$ .
Từ

$(1)$ dễ thấy

$(a+b)\geq 0$ và

$2(a+b)=(a-b)^2+a^2+b^2\geq a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$ .
Do đó

$a+b\leq 4$ suy ra

$P\leq 16$ .
Vậy

$\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}$ đạt GTLN là

$16$ khi và chỉ khi

$x=y=\frac{1}{2}$ .

1 Đáp án