|
|
*) Điều kiện cần:
Để hệ có nghiệm thì $f(x)=x^2-3x+m+1=0$ và $g(x)=x^2-5x+4m+2=0$ đều phải có nghiệm.
Giả sử $f(x)=0$ có nghiệm $x_1\le x_2$ ($x_1$ có thể bằng $x_2$)
$g(x)=0$ có nghiệm $x_3\le x_4$ ($x_3$ có thể bằng $x_4$)
Khi đó: $f(x)\le0\Leftrightarrow x_1\le x\le x_2$
$g(x)\le 0\Leftrightarrow x_3\le x\le x_4$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất thì 2 phương trình $f(x)=0$ và $g(x)=0$ có nghiệm chung,
hay $\exists x_0$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{array}{l} x_0^2-3x_0+m+1=0\\ x_0^2-5x_0+4m+2=0 \end{array} \right.$
$\Rightarrow 2x_0=3m+1\Rightarrow x_0=\frac{3m+1}{2}$
Suy ra: $\left(\frac{3m+1}{2}\right)^2-\frac{3(3m+1)}{2}+m+1=0$
$\Leftrightarrow \frac{9}{4}m^2-2m-\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l} m=1\\m=\frac{-1}{9} \end{array} \right.$
*) Điều kiện đủ:
Với $m=1$, hệ trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l} x^2-3x+2\le0\\x^2-5x+6\le0 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1\le x\le2\\ 2\le x\le3
\end{array} \right.\Leftrightarrow x=3$, thỏa mãn.
Với $m=\frac{-1}{9}$, hệ trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l} x^2-3x+\frac{8}{9}\le0\\x^2-5x+\frac{14}{9}\le0 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3}\le x\le\frac{8}{3}\\ \frac{1}{3}\le x\le\frac{14}{3}
\end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{1}{3}\le x\le\frac{8}{3}$, loại.
Vậy: $m=1$.
|