|
|
Xét hàm: $f(t)=t^3+t^2+t$
Ta có: $f'(t)=3t^2+2t+1>0,\forall t\in\mathbb{R}$
Suy ra: $f$ là hàm tăng trên $\mathbb{R}$
Không mất tính tổng quát giả sử: $x=\max\{x,y,z\}$
Ta có:
$x\ge y\Rightarrow 2x+1\ge2y+1$
$\Rightarrow y^3+y^2+y\ge z^3+z^2+z$
$\Rightarrow y\ge z$
$\Rightarrow 2y+1\ge2z+1$
$\Rightarrow z^3+z^2+z\ge x^3+x^2+x$
$\Rightarrow z\ge x\Rightarrow x=y=z$
Từ đó: $x^3+x^2-x-1=0$
$\Leftrightarrow (x+1)^2(x-1)=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1\\x=-1 \end{array} \right.$
Vậy: $(x,y,z)\in\{(1;1;1),(-1;-1;-1)\}$
|