|
|
Đặt $a=2^x, b=2^y, c=2^z$ thì $abc=2^6=4^3.$
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3 \ge 4(a^2+b^2+c^2)$.
Áp dụng BĐT Cô-si ta có :
$a^3+a^3+4^3 \ge 3\sqrt[3]{a^3.a^3.4^3}=12a^2$
$b^3+b^3+4^3 \ge 3\sqrt[3]{b^3.b^3.4^3}=12b^2$
$c^3+c^3+4^3 \ge 3\sqrt[3]{c^3.c^3.4^3}=12c^2$
$4(a^2+b^2+c^2) \ge 12\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}=3.4^3$
Cộng theo từng vế $4$ đẳng thức trên ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=2$
|