|
|
Với mỗi \(i = 0,1,2...n\), đặt \({u_i} = C_{2n + i}^n.C_{2n - i}^n\)
Ta được dãy \({u_0},{u_1},{u_2}...{u_n}\).
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng \({u_k} \le {u_0}\) với \(0 \le k \le n\).
Do đó chỉ cần chứng minh dãy số vừa thiết lập là dãy giảm, tức là: \(\begin{array}{l}
{u_i} \le {u_{i - 1}}\left( {0 \le i - 1 \le i \le n} \right)\\
\Leftrightarrow \,C_{2n + i}^n.C_{2n - i}^n \le C_{2n + i - 1}^n.C_{2n - \left( {i - 1} \right)}^n
\end{array}\)
Thay $C_k^n=\frac{k!}{n!(n-k)!}$ ta được: \(n \ge 0\)
Đẳng thức cuối cùng đúng. (đpcm)
|