giúp mình nhé mọi người

Question

chứng minh rằng với

$0\leq k\leq n$ thì

$C^n_{(2n+k)}.C^n_{(2n-k)} \leq (C^n_{2n})^2$

score 5 · Answer 1

$C^n_{(2n+k)}.C^n_{(2n-k)}=\frac{(2n+k)!}{n!(n+k)!}.\frac{(2n-k)!}{n!(n-k)!}=\frac{1}{(n!)^2}.(n+k+1)\cdots(2n+k).(n-k+1)\cdots(2n-k)$
Ta có

$(x+k+1)(x-k+1) \le \left ( \frac{x+k+1+x-k+1}{2} \right )^2=(x+1)^2$
Cho

$x=n,n+1,\cdots,2n-1$ ta được

$(n+k+1)\cdots(2n+k).(n-k+1)\cdots(2n-k) \le (n+1)^2\cdots(2n)^2 \le (2n)!^2$
Tóm lại

$C^n_{(2n+k)}.C^n_{(2n-k)} \le \frac{1}{(n!)^2}.(2n)!^2=(C^n_{2n})^2$

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 13-10-12 09:05 PM

score 5 · Answer 2

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Với mỗi

$i = 0,1,2...n$ , đặt

${u_i} = C_{2n + i}^n.C_{2n - i}^n$
Ta được dãy

${u_0},{u_1},{u_2}...{u_n}$ .
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng

${u_k} \le {u_0}$ với

$0 \le k \le n$ .
Do đó chỉ cần chứng minh dãy số vừa thiết lập là dãy giảm, tức là:

$\begin{array}{l} {u_i} \le {u_{i - 1}}\left( {0 \le i - 1 \le i \le n} \right)\\ \Leftrightarrow \,C_{2n + i}^n.C_{2n - i}^n \le C_{2n + i - 1}^n.C_{2n - \left( {i - 1} \right)}^n \end{array}$
Thay

$C_k^n=\frac{k!}{n!(n-k)!}$ ta được:

$n \ge 0$
Đẳng thức cuối cùng đúng. (đpcm)

cách giải bài này hay thế,cảm ơn anh nhé – vulong 13-10-12 10:32 PM

Hỏi	13-10-12 08:52 PM
Lượt xem	2291
Hoạt động	13-10-12 09:04 PM

giúp mình nhé mọi người

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

giúp mình nhé mọi người

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan