|
|
Ban đầu, ta chia cho mỗi người 1 quà, như vậy còn lại $m-n$ quà để chia tiếp cho $n$ người.
Giả sử khi đó số quà cho n người lần lượt là $x_{1}$, $x_{2}$, ..., $x_{n}$. Ta có:
\begin{cases}x_{i}\geq 0, \forall i \\ \sum_{i=1}^{n}{x_{i}}=m-n \end{cases}
Với mỗi cách chia $m-n$ quà cho $n$ người, ta tương ứng với một dãy nhị phân gồm $m-n$ chữ số $0$ và $n-1$ cữ số 1 như sau: $00...0100...01...100...0$, trong đó trước chữ số $i$ có $x_{i}$ chữ số $0$ và sau chữ số $1$ thứ $n-1$ có $x_{n}$ chữ số $0$.
Dễ thấy tương ứng như trên là một song ánh. Vậy số cách chia $m-n$ quà cho $n$ người bằng số dãy nhị phân độ dài $m-1$ trong đó có $n-1$ chữ số $1$. Số dãy nhị phân như vậy là $C^{n-1}_{m-1}$.
Vậy số cách chia quà thỏa mãn đề bài là $C^{n-1}_{m-1}$.
|