|
|
Hiển nhiên thấy $ 0< \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{\tan \frac{x}{2} }{x}dx $.
BĐT còn lại được suy ra từ BĐT phụ sau
Với $0<x<\frac{\pi}{2}$ thì $\frac{\tan \frac{x}{2} }{x} <\frac{2}{\pi} $. Thật vậy, xét hàm
$f(x)=\frac{\tan \frac{x}{2} }{x} $ có $f'(x)=\frac{(x-\sin x)}{2x^2\cos^2(x/2)}>0$
Do đó $f(x) < f(\frac{\pi}{2})=\frac{2}{\pi} $
Vậy $ \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{\tan \frac{x}{2} }{x}dx< \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{2}{\pi} dx=1$
|