bài này làm thế nào ạ?

Question

Cho phương trình:

$x^3+ax+b=0$

Chứng minh rằng không tồn tại

$a,b$ để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.

score 4 · Answer 1

Ta chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử trái lại phương trình có ba nghiệm phân biệt

$x_1,x_2,x_3$ lập thành cấp số nhân, khi đó :

$\begin{cases}x_1+x_2+x_3 = 0 \\ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=a\\ x_1x_2x_3 = b \\ x^2_2=x_3x_1 \end{cases}$

$\Rightarrow a=x_1x_2+x_2x_3+x_2^2=x_2(x_1+x_2+x_3)=0$

$\Rightarrow x^2_1+x^2_2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)= 0$

$\Leftrightarrow x_1=x_2=x_3=0$ , mâu thuẫn.

Vậy không tồn tại giá trị của

$a,b,c$ để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.

1 Đáp án