|
|
Đặt
x=cosBcosCcosA;y=cosCcosAcosB;z=cosAcosBcosC
Trước hết bạn chứng minh công thức sau coi như bài tập nhé
cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1
Từ đây suy ra
⇒xy+yz+zx+2xyz=1
Từ hệ thức trên ta suy ra tồn tại các số α,β,γ>0 sao cho
x=αβ+γ;y=βα+γ;z=γα+β
Điều này xuất phát từ quan sát với mọi α,β,γ>0 thì
αβ+γβα+γ+βα+γγα+β+γα+βαβ+γ+2αβ+γβα+γγα+β=1
BĐT cần chứng minh tương đương với
√αβ+γ+√βα+γ+√γα+β>2
Mặt khác đây là BĐT không khó vì
√αβ+γ=α√α(β+γ)≥2αα+β+γ
Từ đó
√αβ+γ+√βα+γ+√γα+β≥2αα+β+γ+2βα+β+γ+2γα+β+γ=2
Đẳng thức xảy ra ⟺{α=β+γβ=α+γγ=β+α⟺α=β=γ=0
Đây là điều vô lý. Vậy ta có đpcm.
|