|
|
Đặt
$x=\frac{\cos B\cos C}{\cos A};y=\frac{\cos C\cos A}{\cos B};z=\frac{\cos A\cos B}{\cos C}$
Trước hết bạn chứng minh công thức sau coi như bài tập nhé
$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1$
Từ đây suy ra
$\Rightarrow xy+yz+zx+2xyz=1$
Từ hệ thức trên ta suy ra tồn tại các số $\alpha ,\beta ,\gamma >0$ sao cho
$x=\frac{\alpha }{\beta +\gamma };y=\frac{\beta }{\alpha +\gamma };z=\frac{\gamma }{\alpha +\beta }$
Điều này xuất phát từ quan sát với mọi $\alpha ,\beta ,\gamma >0$ thì
$\frac{\alpha }{\beta +\gamma }\frac{\beta }{\alpha +\gamma }+\frac{\beta }{\alpha +\gamma }\frac{\gamma }{\alpha +\beta }+\frac{\gamma }{\alpha +\beta }\frac{\alpha }{\beta +\gamma }+2\frac{\alpha }{\beta +\gamma }\frac{\beta }{\alpha +\gamma }\frac{\gamma }{\alpha +\beta }=1$
BĐT cần chứng minh tương đương với
$\sqrt{\frac{\alpha }{\beta +\gamma }}+\sqrt{\frac{\beta }{\alpha +\gamma }}+\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha +\beta }}>2$
Mặt khác đây là BĐT không khó vì
$\sqrt{\frac{\alpha }{\beta +\gamma }}=\frac{\alpha }{\sqrt{\alpha(\beta +\gamma) }} \ge \frac{2\alpha }{\alpha+\beta +\gamma }$
Từ đó
$\sqrt{\frac{\alpha }{\beta +\gamma }}+\sqrt{\frac{\beta }{\alpha +\gamma }}+\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha +\beta }} \ge \frac{2\alpha }{\alpha+\beta +\gamma }+ \frac{2\beta }{\alpha+\beta +\gamma }+ \frac{2\gamma }{\alpha+\beta +\gamma }=2$
Đẳng thức xảy ra $\iff \begin{cases}\alpha=\beta +\gamma \\ \beta=\alpha +\gamma \\ \gamma=\beta +\alpha \end{cases} \iff\alpha=\beta =\gamma=0$
Đây là điều vô lý. Vậy ta có đpcm.
|