|
|
b)
$\forall x \in (0;\frac{\pi}{4})$,ta có : $0<\tan x<1$
$\Rightarrow \tan^{n+2} x<\tan^n x<\tan^{n-2} x$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\tan^{n+2} xdx<\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\tan^n xdx <\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\tan^{n-2} xdx$ (theo bất đẳng thức tích phân)
$\Rightarrow I_{n+2}<I_n<I_{n-2}$
Xét riêng :$I_n<I_{n-2}$ (Cộng hai vế $I_n$)
$\Rightarrow 2I_n=I_n+I_n<I_n+I_{n-2}=\frac{1}{n-1} \Rightarrow I_n<\frac{1}{2n-2} (1)$
Tương tự : $I_n>I_{n+2}$ (Cộng hai vế $I_n$)
$\Rightarrow 2I_n=I_n+I_n>I_n+I_{n+2}=\frac{1}{n+1} \Rightarrow I_n>\frac{1}{2n+2} (2)$
Từ $(1),(2) \Rightarrow \frac{1}{2n+2}<I_n<\frac{1}{2n-2},\forall n\ge2$
|